Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України Державний вищий навчальний заклад «Донбаський державний педагогічний університет»

Информация о документе:

Дата добавления: 24/04/2016 в 00:56
Количество просмотров: 574
Добавил(а): Светлана Аникова
Название файла: m_n_sterstvo_osv_ti_nauki_molod_ta_sportu_ukra_ni_.doc
Размер файла: 762 кб
Рейтинг: 0, всего 0 оценок

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України Державний вищий навчальний заклад «Донбаський державний педагогічний університет»


Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Державний вищий навчальний заклад

«Донбаський державний педагогічний університет»






Кафедра геометрії та методики викладання математики








Інструктивно-методичні матеріали

до практичних (семінарських, лабораторних) занять

із навчальної дисципліни

МЕТОДИКА НАВЧАННЯ МАТЕМАТИКИ

(шифр і назва навчальної дисципліни)


спеціальність 804020101 «Математика*»

(шифр і назва напряму підготовки)


факультет фізико-математичний

(назва факультету, відділення)








Розроблені:

кандидат пед. наук, доцент кафедри ГМВМ ДДПУ Н. І. Труш___

кандидат пед. наук, доцент кафедри ГМВМ ДДПУ Б. Б. Беседін______________

(науковий ступінь, учене звання, П.І.Б.)

ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ І. Методика розвитку основних алгебраїчних змістово-методичних ліній у старшій школі

ТЕМА 1.2.Розвиток поняття про число в старшій школі.

Мета вивчення: Узагальнити і систематизувати знання про числові множини та методику їх вивчення у старшій школі.

Обсяг навчального часу:2 год.

Обладнання:шкільні підручники, програма, збірки задач, відео фрагмент уроку.

Основні питання :

  1. Модуль числа та його властивості.

  2. Корінь n-го степеня, його властивості, дії з радикалами.

  3. Раціональний та ірраціональний степінь числа.

  4. Методика введення поняття логарифма числа та його властивостей.

Література:

  1. Жовнір Я.М., Євдокимов В.І. 500 задач з методики викладання математики: Навч. посібник. –Х.: Основа, 1997. – 392 с.

  2. Математика. Програма для загальноосвітніх навчальних закладів. – Київ-Ірпінь: Перун, 2005. – 64 с.

  3. Математика. Програми для загальноосвітніх навчальних закладів. – К.: Навчальна книга, 2003. – 302 с.

  4. Мерзляк А.Г., Неміровський Д.А., Полонський В.Б. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 10 кл. загально-освіт. навч. закладів (академічний рівень)

  5. Мерзляк А.Г., Неміровський Д.А., Полонський В.Б. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 11 кл. загально-освіт. навч. закладів (академічний рівень)

  6. Нелін Є.П. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 10 кл. загально-освіт. навч. закладів (академічний рівень)

  7. Нелін Є.П. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 11 кл. загально-освіт. навч. закладів (академічний рівень)

  8. Слєпкань З.І. Методика навчання математики. – К: Зодіак-ЕКО, 2000. – 512с.

  9. Шкіль М.І. та ін. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 10 кл. загально-освіт. навч. закладів. – К.: Зодіак-ЕКО, 2003. – 272 с.

  10. Шкіль М.І. та ін. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 11 кл. загально-освіт. навч. закладів. – К.: Зодіак-ЕКО, 2003. – 400 с.


Методичні поради з викладання теми:

Розглянути будову числової лінії шкільного курсу математики за планом

  1. Числова лінія шкільного курсу математики як система.

  2. Методичні особливості викладання окремих тем числової лінії

Система – сукупність елементів, що знаходяться в стосунках і зв'язках між собою і створюючих певну цілісність.

Структура– будова і внутрішня форма організації системи, виступаюча як єдність стійких взаємозв'язків між її елементами.

Числова лінія

Елементи:числа, організовані в рівні по окремій числовій множині.

Внутрішні зв’язки.

  • Горизонтальні

  • відношеня:

  • округлення,

  • дія,

  • їх закони і властивості

Зовнішні зв'язки– зв'язки з іншими лініями.

Схеми розвитку поняття числа

  • Історична:

  • N N 0 Q + Q R

  • Логічна:

  • N N 0 Z Q R


Системно-структурний аналіз.

  1. Загальне поняття числа в більшості технологій не розглядається.

  • Під натуральним числом розуміється якийсь символ, що характеризує клас еквівалентних між собою множин, між елементами яких можна встановити взаємно-однозначну відповідність, тобто символ, що позначає потужність не порожньої скінченної множини.

  1. Числа вводяться для різних потреб:

  • натуральні – через необхідність перераховувати предмети;

  • від’ємні – для позначення велічини або її виміру;

  • дроби – через поняття долі;

  • ірраціональні через розв’язування рівнянь;

  • дійсні – через встановлення відповідності.

Таким чином, загальної ідеї немає, вертикальні зв'язки відсутні.

  1. Базовою дією, яка вводиться без означення, є додавання натуральних чисел.

  • Останні операції для множин Z і Q визначаються, але вводяться по-різному, а для множин Q \R і R не вводяться і не розглядаються. Питання про виконуваність операцій не ставиться, оскільки немає потреби.

Таким чином, цілісність порушується.

Загальний висновок: з точки зору системності в розгортанні числової лінії є ряд істотних недоліків

Можливі варіанти для загальної ідеї розгортання числової лінії:

  • Розв’язування рівнянь (вертикальний зв'язок)

  • Виконуваність дій (горизонтальний зв'язок)

Принцип спільності розв’язування типових завдань

Якщо на одній з множин типове завдання розв’язується якою-небудь дією і її дані можуть виражатися числами, що належать іншій множині, то і на цій іншій множині завдання повинне розв’язуватися тією ж дією.

Принцип змінності і мінімальності для розширення числової множини.

Якщо множина А розширюється до множини В, то:

  • А має бути підмножиною В;

  • Всі операції, визначені в А, мають бути визначені і у В, причому при їх виконанні для елементів безлічі А повинні виходити колишні результати;

  • Всі властивості операцій, що мали місце в А, повинні виконуватися і у В;

  • У множині В виконується яка-небудь операція, що не виконується в А;

  • Множина В – мінімальна, що задовольняє попереднім властивостям.


Способи побудови множини В

Множина В будується незалежно від А, а потім в нім виділяється підмножина, ізоморфна А, і ототожнюється з А

Множина А доповнюється новими елементами, внаслідок чого виходить нова множина В

Деякі методичні особливості вивчення натуральних чисел

  • Вивчення починається в початковій школі, в 5 класі здійснюється систематизація знань

  • Систематизація йде з опорою на позиційне представлення числа. З метою виділення істотних ознак позиційних систем числення доцільно розглянути недесяткові і непозиційні системи

  • Посилюється роль теоретичних обгрунтувань, що виявляється в поєднанні методів індукції і дедукції

Приклад поєднання методів індукції і дедукції

Додавання багатозначних чисел «стовпчиком» обгрунтовується таким чином:

  • Пропонується конкретний приклад: 345 + 623

  • Кожен доданок розкладається по розрядах: (300 + 40+ 5) + +(600 + 20 + 3)

  • Застосовуються переставний і сполучний закони додавання: (300 + 600) + (40 + 20) + (5 +3)

  • Виконуються дії 900 + 60 +8 = 968

  • Далі робиться висновок, що суму багатозначних чисел можна отримати додаючи їх порозрядно, а додавання «стовпчиком» є короткий запис такого способу додавання:

345

623

968

  • Міркування проводяться на основі прикладу, тому вони індуктивні;

  • Посилання на закони додавання усередині цього прикладу є дедуктивними проявами/

Деякі методичні особливості вивчення дробових чисел

  • Перше знайомство з дробовими числами відбувається в початковій школі, але систематичне вивчення починається в 5 класі

  • Дробові числа вводяться через поняття «долі»

  • Важливе значення має питання мотивації для введення дробових чисел.

  • Існують три прийоми для мотивації: вимірювання величини; розв’язування рівнянь; виконуваність дій.

  • Існує методична проблема порядку вивчення десяткових і звичайних дробів: які з них вивчати першими?

  • Є три підходи до вирішення цієї проблеми, які з методичної точки зору рівноправні.

Підходи до проблеми порядку вивчення десяткових і звичайних дробів

  1. Вивчаються спочатку звичайні дроби, а потім десяткові. Обгрунтування: десяткові дроби є формою запису дробів з певним виглядом знаменників.

  2. Вивчаються спочатку десяткові дроби, потім звичайні. Обгрунтування: у десяткових дробах зберігається ідея позиційності, що дає можливість перенесення відомих способів дій з натуральними числами на нові об'єкти, і вони зручніші в обчисленнях.

  3. Вивчення звичайних і десяткових дробів чергується. Обгрунтування: звичайні дроби більш універсальні, але десяткова форма дробів простіша для вивчення.

Деякі методичні особливості вивчення дробових чисел

  • Особливе значення має розрізнення суті понять «дріб», «дробове число», «змішане число» .

Дріб – форма запису як цілих, так і не цілих чисел, причому будь-яке число можна записати за допомогою різних дробів.

Змішане число– форма запису дробових чисел, модуль яких більший за одиницю.

Деякі методичні особливості вивчення від’ємних чисел

  • Для збереження системності у викладі змісту числової лінії необхідно спиратися на всі три прийоми для мотивації введення нових чисел, але пріоритетним напрямом слід розглядати ідею виконуваності дій.

  • Є методична складність в обгрунтуванні доцільності введення правил дій з від’ємними числами, оскільки складно підібрати сюжетну фабулу завдання для використання принципу спільності розв’язання типових завдань. Таким завданням може бути завдання про зміну температури повітря або рівня води в річці

  • Особливістю вивчення правил дій є і те, що для кожної арифметичної дії є декілька правил їх виконання.

  • Вироблення правильних алгоритмів дій – важливий момент методики.

Слід звернути увагу учнів, що результат дії – число, що характеризується знаком і модулем, тому при виконанні дій

  1. спочатку знаходимо знак шуканого числа,

  2. потім модуль шуканого числа.

Деякі методичні особливості вивчення ірраціональних чисел

  • Для практичних обчислень множини раціональних чисел вистачає. Необхідність вивчення дійсних чисел більшою мірою викликається потребами самої математики (наприклад, побудова графіків суцільною лінією);

  • Головна трудність – жодна теорія дійсного числа не може бути викладена в шкільному курсі математики навіть у старших класах через високу міру абстрактності, а потреби математики вимагають більш раннього введення поняття ірраціональних чисел;

  • Основою для введення ірраціональних чисел служить одне із завдань:

    • Завдання про вимірювання відрізків,

    • Завдання про добування кореня.

  • Необхідно відзначити, що існують ірраціональні числа, які не можна отримати добуванням кореня, тому ірраціональне число визначається як нескінченний неперіодичний десятковий дріб.

  • Більшість питань, пов'язаних з вивченням ірраціональних чисел, розглядаються на рівні наочних уявлень.

  • Роз’яснити арифметичний сенс навіть основних операцій дуже непросто, тому їм часто дається геометрична, наочна інтерпретація. Наприклад, для суми через побудову відрізка, рівного сумі двох інших відрізків, а для множення – через обчислення площі прямокутника;

Вивчення комплексних чисел.

  • Вивчення комплексних чисел не входить у програми базових курсів шкільної математики, але включено в програми профільних фізико-математичних класів.

План проведення практичного заняття №1 ( 2 год.):

  1. Опрацювати тему «Модуль дійсного числа та його властивості» за підручником М.І.Шкіль Алгебра та початки аналізу.

  2. Опрацювати тему «Модуль дійсного числа та його властивості» за підручником Є.П.Нелін Алгебра та початки аналізу.

  3. Порівняти підходи обрані в двох підручниках.

  4. Переглянути представлений урок. Зробити його аналіз. (Відео фрагмент додається у електронному варіанті)

  5. Розв’язання рівнянь, що містять вирази під знаком модуль

 

 




 

 

 


Заміна:

немає розвязків











Розв’язати рівняння та описати методику їх розв’язання:

  1. Розв’язання нерівностей, що містять вирази під знаком модуль














розв’язок це все

розв’язків не має





розв’язують методом інтервалів:


1) визначають область допустимих значень невідомої x;

2) знаходять значення невідомої , , :, , при яких вирази, що стоять під знаком модуля, обертаються в 0;

3) наносять всі xi з ОДЗ на числову пряму, розділивши її на i + 1 проміжків; 4) на кожному з i + 1 проміжків розкривають кожен модуль за правилом розкриття модуля;

5) розв’язують i + 1 рівняння, у відповідь виписують об'єднання всіх розв’язків рівнянь.

Розв’язати нерівності та описати методику їх розв’язання:


ТЕМА 1.3. Методика вивчення лінії тотожних перетворень у старшій школі.

Мета вивчення: Узагальнити і систематизувати знання про тотожні перетворення математичних виразів. Ознайомити студентів з методикою вивчення в школі ірраціональних та трансцендентних виразів.

Обсяг навчального часу:2 год.

Обладнання:шкільні підручники, програма, збірки задач, відео фрагмент уроку.

Основні питання :

  1. Повторення і систематизація та поглиблення знань за основну школу.

  2. Тотожні перетворення ірраціональних виразів.

  3. Робота з тригонометричними виразами.

  4. Показникові та логарифмічні вирази.

Література:

  1. Жовнір Я.М., Євдокимов В.І. 500 задач з методики викладання математики: Навч. посібник. –Х.: Основа, 1997. – 392 с.

  2. Математика. Програма для загальноосвітніх навчальних закладів. – Київ-Ірпінь: Перун, 2005. – 64 с.

  3. Мерзляк А.Г., Неміровський Д.А., Полонський В.Б. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 10 кл. загально-освіт. навч. закладів (академічний рівень)

  4. Мерзляк А.Г., Неміровський Д.А., Полонський В.Б. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 11 кл. загально-освіт. навч. закладів (академічний рівень)

  5. Нелін Є.П. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 10 кл. загально-освіт. навч. закладів (академічний рівень)

  6. Нелін Є.П. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 11 кл. загально-освіт. навч. закладів (академічний рівень)

  7. Слєпкань З.І. Методика навчання математики. – К: Зодіак-ЕКО, 2000. – 512с.

  8. Шкіль М.І. та ін. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 10 кл. загально-освіт. навч. закладів. – К.: Зодіак-ЕКО, 2003. – 272 с.

  9. Шкіль М.І. та ін. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 11 кл. загально-освіт. навч. закладів. – К.: Зодіак-ЕКО, 2003. – 400 с.


Методичні поради з викладання теми:

Пропедевтика курсу алгебри в 5-6 класах

  • Введення символіки алгебри;

  • Знайомство з можливостями, які відкриваються при використанні букв;

  • Накопичення досвіду роботи з мовою алгебри.

Початок вивчення систематичного курсу алгебри

У 7 класі

  • Мова Алгебри – предмет спеціального вивчення;

  • Поняття алгебраїчного виразу – узагальнення поняття числа;

  • Введення основних понять алгебри (міра, одночлени, многочлени, дроби алгебри) на основі поняття алгебраїчного виразу;

  • Введення і вивчення операцій над об'єктами алгебри і їх властивостей.

Основний підсумок пропедевтичного і початкового курсів алгебри

Учні повинні прийти до висновку, що значеннями букв в алгебрі можуть бути інші, не числові, об'єкти, зокрема, міри, одночлени, многочлени і, можливо, ще якісь інші.

Місце тотожних перетворень в шкільному курсі математики

Тотожність і тотожні перетворення не є окремою темою і вивчаються впродовж всього курсу математики.

Важливість лінії тотожних перетворень.

  • На основі змісту лінії тотожних перетворень формується уявлення про аналітичний метод математики;

  • Розв’язання багатьох математичних завдань аналітичним методом передбачає виконання тотожних перетворень виразів алгебри;

  • Уміння проводити тотожні перетворення, знання основної тотожності – одна з умов успішності учнів в багатьох інших темах шкільного курсу математики.

Таким чином, з'являється необхідність

  • синтаксичного і семантичного аналізу виразів алгебри;

  • обговорення можливості переходу від одного алгебраїчного виразу до іншого.

Різні визначення поняття тотожності

  • Рівність, вірна при будь-яких значеннях змінних;

  • Рівність, вірна при будь-яких допустимих значеннях змінних;

  • Рівність, вірна при будь-яких значеннях змінних, що належать деякій множині.

Враховуючи, що цінність тотожності полягає в можливості з її допомогою даний вираз замінювати іншим, інтерес представляє визначення тотожності в першому сенсі. Саме таке визначення прийняте в шкільному курсі математики, тобто: Тотожність – рівність, вірна при будь-яких значеннях змінних.

Нечітке знання мети виконання тотожних перетворень негативно позначається на усвідомленості їх виконання і є джерелом помилок.

Таким чином,роз'яснення цілей виконання тих або інших перетворень – важлива складова частина методики їх вивчення.

Методичні прийоми, що сприяють усвідомленому засвоєнню тотожних перетворень

  • Мотивування тотожних перетворень через роз'яснення їх доцільності.

  • Варіювання запису тотожності і прикладів виконання тотожних перетворень з їх допомогою.

  • Використання засобів наочності, опорних сигналів,

  • Проведення аналогії між тотожністю і числовою рівністю;

  • Теоретичне обґрунтування тотожності;

Прийоми управління учбовою роботою учнів

  • Використання різних способів тотожних перетворень або способів доказу тотожності;

  • Організація аналізу раціональності тих або інших перетворень в тому або іншому випадку;

  • Організація пошуку розв’язання завдань, пов'язаних з тотожними перетвореннями;

  • Організація пошуку помилок;

  • Детальний розбір помилок з виявленням їх суті і причин виникнення.

План проведення практичного заняття №2 ( 2 год.):

  1. Опрацювати матеріал лінії тотожних перетворень шкільного курсу математики.

  2. Описати методику введення поняття кореня n-го степеня і його властивостей.

  3. Розробити фрагмент конспекту уроку для учнів 10 класу «Тотожні перетворення ірраціональних виразів»;

  • тип уроку: комбінований;

  • етап уроку: застосування знань (тренувальні вправи).

  1. Описати методику роботи над завданнями:

  • Обчислити вираз

  • Яке число більше чи

  • Спростити вираз:

  1. Проаналізувати завдання №№ 381 – 391[3, с.117-119], розв’язати по одному завданню із кожного номера.


План проведення практичного заняття №3 ( 2 год.):

  1. Охарактеризувати групи формул, що лежать у основі тотожних перетворень тригонометричних виразів

  • співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу;

  • формули суми та різниці аргументів, інші формули, що з них отримуються;

  • формули зведення.

  1. Описати можливі способи доведення формули косинуса різниці двох аргументів.

  2. Сформулювати загальний алгоритм використання формул зведення.

  3. В чому полягають особливості тотожних перетворень показникових і логарифмічних виразів?

  4. Описати методику роботи над завданнями:

  • Спростити вираз:

  • Відомо, що та

  • Довести, що

  • Знайти , якщо відомо, що ,

  • Довести, що

  • Перевірити, що

  • Спростити вираз

  • Знайти , якщо відомо, що .


ТЕМА 1.4.Методика повторення і розширення відомостей про функцію у старшій школі.

Мета вивчення: Узагальнити і систематизувати знання про функції та їх властивості. Сформувати у студентів уявлення про методичні прийоми розгляду даних питань у старшій школі.

Обсяг навчального часу:4 год.

Обладнання:шкільні підручники, програма, збірки задач, відеоматеріал про побудову графіків складених функцій.

Основні питання :

  1. Систематизація знань про функцію за основну школу.

  2. Тригонометричні функції кута та числового аргументу. Побудова графіків тригонометричних функцій. Дослідження тригонометричних функцій елементарними методами.

  3. Обернена функція. Обернені тригонометричні функції.

  4. Степенева функція, її графік і властивості.

  5. Методика вивчення показникової, логарифмічної і степеневої функцій.

Література:

  1. Жовнір Я.М., Євдокимов В.І. 500 задач з методики викладання математики: Навч. посібник. –Х.: Основа, 1997. – 392 с.

  2. Математика. Програма для загальноосвітніх навчальних закладів. – Київ-Ірпінь: Перун, 2005. – 64 с.

  3. Мерзляк А.Г., Неміровський Д.А., Полонський В.Б. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 10 кл. загально-освіт. навч. закладів (академічний рівень)

  4. Мерзляк А.Г., Неміровський Д.А., Полонський В.Б. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 11 кл. загально-освіт. навч. закладів (академічний рівень)

  5. Нелін Є.П. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 10 кл. загально-освіт. навч. закладів (академічний рівень)

  6. Нелін Є.П. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 11 кл. загально-освіт. навч. закладів (академічний рівень)

  7. Слєпкань З.І. Методика навчання математики. – К: Зодіак-ЕКО, 2000. – 512с.

  8. Сборник заданий для государственной итоговой аттестации по математике. Алгебра и начала анализа. 11 класс./ Под ред. З.И.Слепкань. – Харьков: “Гимназия”, 2002.

  9. Шкіль М.І. та ін. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 10 кл. загально-освіт. навч. закладів. – К.: Зодіак-ЕКО, 2003. – 272 с.

  10. Шкіль М.І. та ін. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 11 кл. загально-освіт. навч. закладів. – К.: Зодіак-ЕКО, 2003. – 400 с.

Методичні поради з викладання теми:

Обґрунтування функціональної лінії математики, що є провідною для шкільного курсу, – одне з найбільших досягнень сучасної методики.

Фундаментальність поняття породжує різноманіття способів розгортання змісту даної лінії і різні трактування самого поняття.

Генетична трактовка поняття «функція»

Генетичне трактуванняпоняття функції засноване на поняттях

  • змінна величина,

  • функціональна залежність змінних величин,

  • формула (що виражає одну змінну через деяку комбінацію інших змінних),

  • декартова система координат на площині.

Переваги генетичної трактовки.

  • «динамічний» характер поняття функціональної залежності,

  • модельний аспект поняття функції, що легко виявляється, відносно вивчення явищ природи,

  • Легко встановлюваний зв'язок з останнім змістом курсу алгебри, оскільки більшість функцій, використовуваних в нім, виражаються аналітично або табличний.

Недоліки генетичної трактовки

  • змінна при такому підході завжди неявно (або навіть явно) передбачається такою, що пробігає безперервний ряд числових значень. Тому поняття зв'язується лише з числовими функціями одного числового аргументу.

Логічна трактовка поняття «функції»

Логічне трактуванняпоняття функції:

  1. поняття функції виводиться з поняття відношення,

  2. функція виступає у вигляді відношення спеціального вигляду між двома множинами.

Переваги логічного трактування:

  • Збагачення мови шкільної математики за рахунок ілюстрації поняття за допомогою різних засобів;

  • Узагальненість поняття, що дозволяє встановлювати різні зв'язки.

Недоліки логічного трактування:

  • Вироблене поняття не прижилося, оскільки надалі в основному використовуються лише числові функції

Система компонентів поняття «функції»

  • уявлення про функціональну залежність змінних величин в реальних процесах і в математиці;

  • уявлення про функцію як про відповідність;

  • побудова і використання графіків функцій, дослідження функцій;

  • обчислення значень функцій, визначених різними способами.

Введення поняття функції– тривалий процес, що завершується формуванням уявлень про всі компоненти цього поняття в їх взаємний зв'язок.

Вивчення різних способів задання функції – важливий методичний прийом.

Напрями введення поняття «функції»

  • впорядкування уявлень про функції, розгортання системи понять, характерних для функціональної лінії:

  • способи задання і загальні властивості функцій,

  • графічне тлумачення області визначення, області значень, зростання і спадання тощо;

  • глибоке вивчення окремих функцій і їх класів;

  • розширення області додатків алгебри за рахунок включення в неї ідеї функції і розгалуженої системи дій з функцією.

Особливості першого напрямку

Однозначності відповідності аргументу і визначеного по ньому значення функції відводиться значне місце.

Для формування поняття притягуються різні способи завдання функції, хоча надалі всі способи завдання функцій грають супідрядну роль аналітичному способу завдання.

Причини важливості розгляду різних способів задання функцій

По-перше, воно пов'язане з практичною потребою:

  • таблиці, і графіки, як правило, слугують для зручного в певних обставинах представлення функції, що має аналітичну форму запису.

По-друге, воно важливе для засвоєння всього різноманіття аспектів поняття функції:

  • формула виражає функцію лише будучи включеною у відповідну систему уявлень і операцій, а ця система така, що різні компоненти поняття функції можуть бути відображеними різними засобами.

Система завдань на встановлення зв'язків між трьома основними способами завдання функції (формулою, графіком, таблицею) включає: 1) 6 типів вправ із зміною форми; 1) 3 типи із збереженням форми.

Основні підходи до введення поняття «функції»

Індуктивний підхід

  • Спочатку розгляд значного числа прикладів, за допомогою яких інтуїтивно виявляється суть поняття,

  • подальше строге визначення основних понять.

Дедуктивний підхід

  • Спочатку повний і стислий виклад учбового матеріалу, нехай навіть малозрозумілого при першому прочитанні,

  • подальше поглиблене опрацювання всіх прикладів, термінів і визначень за допомогою ілюстрацій.

Вивчення класів функції

Клас функцій– множина функцій, що володіють спільністю аналітичного способу завдання (формули) і схожими особливостями графіка, сфер застосування.

Для функцій, що входять в клас, вивчення йде в двох аспектах : 1) Вивчення даної функції як члена класу; 2) Вивчення властивостей всього класу на прикладі типової функції, що входить в клас.

Методична схема вивчення функції, яка входить в клас

Методичні особливості вивчення прямої та оберненої

пропорційної залежності

  • Опора на знання про пропорцію і пропорційну залежність величин.

  • Індуктивний підхід до введення поняття.

  • Використання прийому «загущення» точок при побудові графіка.

Послідовність дій побудови графіків функцій методом

«загущення» точок

  • зображення декількох точок;

  • спостереження — всі побудовані точки розташовані на одній прямій;

  • проведення цієї прямої;

  • перевірка: 1) беремо довільне значення аргументу і обчислюємо по ньому значення функції; 2) наносимо точку на координатну плоскість — вона належить побудованій прямій.

  • висновок про графік даної функції.

Вивчення лінійної функції

  • Уявлення про лінійну функцію виділяється при побудові графіка деякої лінійної функції.

  • Основна думка, яку необхідно обґрунтувати, полягає в тому, що розгляд графіка окремо взятої лінійної функції не може дати повного уявлення про основні властивості графіків всіх лінійних функцій.

Побудова графіків лінійної функції

  • Побудова першої з даних функцій проводиться методом «загущення» точок.

  • Потім на основі виводу про вигляд лінії, що є графіком будь-якої лінійної функції, геометрично обґрунтовується другий спосіб побудови графіка лінійної функції – «по двох точках».

  • Слід відразу відзначити, що перший спосіб є універсальним (тобто загальним для всіх функцій), а другий – специфічним для лінійної функції.

Вивчення властивостей лінійної функції

Нове для учнів пізнавальне завдання

Дослідити клас функцій у=kх+b залежно від параметрів, встановити геометричний смисл параметрів.

Методичний прийом дослідження:

Розглянути одночасно декілька функцій, в яких один з параметрів змінюється, а інший залишається постійним.

Проста система, що реалізовує цей прийом, складається з чотирьох завдань з їх подальшим аналізом і встановленням зв'язків між ними.


















  • Графіки (а) і (б) утворюють з віссю абсцис однакові кути, це ж має місце і для графіків (в) і (г).

  • Графіки (а) і (б) утворюють з віссю абсцис менші кути, чим (в) і (г).

  • Коефіцієнти при змінній у формулі для першої і другої функцій однакові і менші, ніж відповідні коефіцієнти в третьої і четвертої функцій.

  • Сформулювати вивід про залежність розглянутого кута від коефіцієнта. Ввести термін «кутовий коефіцієнт»

Аналогічну роботу необхідно провести для від’ємного коефіцієнта до і коефіцієнта b.

Розглянутий прийом називають дослідженням функції, що оцінюється.

Особливості вивчення квадратичної функції.

  • Вивчення квадратичної функції вчаться можна почати

  1. з побудови параболи,

  2. з вивчення фізичних процесів, де залежність між величинами може бути виражена за допомогою многочленів другого степеня.

  • Для вивчення квадратичної функції можуть бути застосовані всі прийоми, використані для вивчення лінійної функції:

  1. побудова графіка методом «загусання» точок;

  2. дослідження функції, яке оцінюється.

  • Проте, для вивчення властивостей квадратичної функції цих прийомів недостатньо, оскільки властивості квадратичної функції істотно відрізняються від властивостей лінійної функції

  • Властивості квадратичної функції, що вимагають розширення прийомів її дослідження і виконання завдань особливого вигляду:

  1. функція не монотонна на області визначення;

  2. характер зміни функції не є рівномірним;

  3. її графік симетричний відносно деякої прямої.

Головна особливість квадратичної функції: не всі її параметри мають ясний геометричний сенс, як у випадку з лінійною функцією. Саме тому до вивчення класу квадратичних функцій застосовується прийом, заснований на перетворенні виразу, який задає функцію, до вигляду y = а b)2+ с, і використанні геометричних перетворень для побудови графіка довільної квадратичної функції з параболи стандартного положення, тобто графіка функції у=ах2, а≠0.

Послідовність розгляду часткових випадків

квадратичних функцій

Способи побудови графіків квадратичної функції

В результаті всебічного вивчення властивостей квадратичної функції і її графіків мають бути сформовані два способи побудови графіка:1) за характеристичними точками; 2) за допомогою перетворень графіка функції

Вивчення степеневої, логарифмічної

та показникової функцій

  • Будується за аналогічними схемами.

  • Головною особливістю є

  1. наявність обмежень на параметри,

  2. обмеження області визначення функцій.

Вивчення тригонометричних функцій

  • Головна увага приділяється властивостям парності/непарності і періодичності функцій;

  • Узагальнюються всі відомі раніше прийоми дослідження функцій і побудови графіків.

План проведення практичного заняття №4 ( 2 год.):

  1. Опрацювати матеріал про історію виникнення функції (електронний варіант)

  2. Назвати основні властивості функцій, описати методику їх вивчення.

  3. Проаналізувати матеріал про елементарні перетворення функцій за підручником [5, с.58]

  4. Описати роботу по систематизації знань про елементарні перетворення функцій.

  5. Проаналізувати функціональний матеріал підручників [3 і 4], його послідовність і особливості викладу.

  6. Описати прийоми побудови графіків тригонометричних функцій.


План проведення практичного заняття №5 ( 2 год.):

  1. Скласти алгоритм знаходження оберненої функції. Навести приклади.

  2. Розв’язати і описати методику роботи над задачами №№ 508, 510, 511, 514, 533, 536, 541, 548, 552, 558 [8].

  3. Розробити узагальнюючі таблиці для систематизації тотожних перетворень трансцендентних виразів.

  4. Розробити узагальнюючу таблицю властивостей степеневої функції в залежності від виду показника.

  5. Розробити текст диференційованої контрольної роботи з тем показникова та логарифмічна функції.

  6. Переглянути відеоматеріал, проаналізувати його і визначити місце подібних завдань у навчальному процесі.


ТЕМА 1.5.Методика вивчення рівнянь, нерівностей та їх систем в курсі алгебри і початків аналізу.

Мета вивчення: Узагальнення та систематизація знань про рівняння, нерівності та їх системи, ознайомлення з можливими методичними підходами до вивчення даного матеріалу.

Обсяг навчального часу:6 год.

Обладнання:шкільні підручники, програма, збірки задач, відео фрагмент уроку.

Основні питання :

  1. Ірраціональні рівняння та нерівності.

  2. Тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

  3. Показникові і логарифмічні рівняння, нерівності та їх системи.

Література:

  1. Жовнір Я.М., Євдокимов В.І. 500 задач з методики викладання математики: Навч. посібник. –Х.: Основа, 1997. – 392 с.

  2. Математика. Програма для загальноосвітніх навчальних закладів. – Київ-Ірпінь: Перун, 2005. – 64 с.

  3. Мерзляк А.Г., Неміровський Д.А., Полонський В.Б. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 10 кл. загально-освіт. навч. закладів (академічний рівень)

  4. Мерзляк А.Г., Неміровський Д.А., Полонський В.Б. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 11 кл. загально-освіт. навч. закладів (академічний рівень)

  5. Нелін Є.П. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 10 кл. загально-освіт. навч. закладів (академічний рівень)

  6. Нелін Є.П. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 11 кл. загально-освіт. навч. закладів (академічний рівень)

  7. Слєпкань З.І. Методика навчання математики. – К: Зодіак-ЕКО, 2000. – 512с.

  8. Шкіль М.І. та ін. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 10 кл. загально-освіт. навч. закладів. – К.: Зодіак-ЕКО, 2003. – 272 с.

  9. Шкіль М.І. та ін. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 11 кл. загально-освіт. навч. закладів. – К.: Зодіак-ЕКО, 2003. – 400 с.


Методичні поради з викладання теми:

Лінія рівнянь та нерівностей шкільного курсу математики

Підходи до визначення поняття рівняння

Функціональний підхід

  1. Рівнянням з одним невідомим називається рівність вигляду

  2. Число називається коренем рівняння, якщо це число належить області допустимих значень невідомого і справедлива числова рівність

Предикативний підхід

Рівність, що містить невідоме число, називається рівнянням

  • Значення невідомого числа, при підстановці якого в рівняння виходить вірна числова рівність, називається коренем рівняння

При будь-якому з підходів до визначення рівняння суть дії розв’язання рівняння трактується однаково: розв’язати рівняння – означає знайти всі його корені або довести, що їх немає.

Зв'язок поняття «рівняння» з поняттям «тотожність»

Рівняння називається тотожністю, якщо будь-яке число є його розв’язком.

Рівняння вигляду називається тотожністю, якщо множина розв’язків цього рівняння збігається з областю визначення даного рівняння

Основні тенденції вивчення рівнянь

  • Більш раннє систематичне вивчення рівнянь (починаючи з початкової школи);

  • Розширення об'єму і складності розвязування рівнянь молодшими школярами;

  • Варіативна послідовності вивчення окремих питань лінії.

Два основних процеси, які супроводжують навчання

  1. Поступове зростання класів рівнянь і нерівностей, прийомів їх розв’язання, перетворень.

  2. Встановлення всіляких зв'язків між різними класами рівнянь, виявлення більш загальних класів, закріплення більш загальних прийомів перетворень, спрощення опису і обґрунтування розв’язку.

Сенс виділення основних класів рівнянь та нерівностей

За рахунок стандартизації форми завдання «загального вигляду» рівняння можна записувати відповіді формулою або привести простий опис дій, що приводять до розв’язку.

Вивчення кожного з класів має певне навантаження у формуванні поняття «розв’язання рівнянь», поступово збагачує алгоритмічний і евристичний досвід учнів.

Загальна ідея розв’язання довільного рівняння,

яке не є найпростішим рівнянням будь-якого типу

Розв’язання будь-якого рівняння здійснюється в два етапи:

  1. Перетворення даного рівняння (нерівності) до простого вигляду – евристичний етап;

  2. Розв’язання простого рівняння (нерівності) за відомими формулами, алгоритмами або правилами – алгоритмічний етап.

Загальний напрямок процесу формування загальних прийомів

розв’язку рівнянь та нерівностей

Організація в учнів знань і досвіду в єдину цілісну систему, що дозволяє розпізнавати можливості зведення складніших рівнянь до простих відомих типів.

Формування вмінь визначати спосіб розв’язання рівняння.

  • Для групи рівнянь вказати можливий спосіб розв’язання (самі розв’язки не приводити);

  • Після попереднього аналізу зовнішнього вигляду рівняння і способу розв’язку розв’язати рівняння.

Основні прийоми перетворення рівнянь.

  1. Розкриття дужок;

  2. Перенесення доданків;

  3. Приведення подібних доданків;

  4. Множення обох частин рівняння на вираз або число, відмінне від нуля;

  5. Піднесення до степеня.

Основні методи розв’язання рівнянь

  1. Розкладання на множники;

  2. Заміна змінних;

  3. Зведення до системи рівнянь і нерівностей;

  4. Функціональний;

  5. Графічний.

З точки зору діяльнісного підходу до навчання саме на формування узагальнених прийомів розв’язання рівнянь і слід звернути увагу.

Основні прийоми розв’язання рівнянь та нерівностей,

які формуються в шкільному курсі математики.

5-6 клас.

  • Узагальнений прийом розв’язання рівнянь першого степеня з однією змінною.

  • Узагальнений прийом розв’язання рівнянь з модулем.

7-9 клас

  • Узагальнений прийом розв’язання нерівностей першого степеня з однієї змінної і їх систем.

  • Узагальнений прийом розв’язання рівнянь і нерівностей другого степеня з однією змінною.

  • Узагальнений прийом розв’язання раціональних рівнянь з однією змінною.

  • Узагальнений прийом розв’язання раціонально - дробових рівнянь з однією змінною.

  • Узагальнений прийом розв’язання ірраціональних рівнянь з однією змінною.

10-11 клас

  • Узагальнений прийом розв’язання ірраціональних нерівностей з однією змінною.

  • Узагальнений прийом розв’язання показникових рівнянь і нерівностей.

  • Узагальнений прийом розв’язання логарифмічних рівнянь і нерівностей.

  • Узагальнений прийом розв’язання тригонометричних рівнянь і нерівностей.

Етапи процесу узагальнення прийомів

розв’язання рівнянь

  1. Розв’язання простих рівнянь даного вигляду;

  2. Аналіз дій, необхідних для їх розв’язання;

  3. Виведення алгоритму (правила, формули) розв’язання і запам'ятовування його;

  4. Розв’язання нескладних рівнянь даного вигляду, що не є простими;

  5. Аналіз дій, необхідних для їх розв’язання;

  6. Формулювання частинного прийому розв’язання;

  7. Вживання отриманого частинного прийому за зразком, в схожих ситуаціях, в легко усвідомлюваних варіаціях зразка;

  8. Робота за описаними етапами для наступних видів рівнянь згідно з програмою;

  9. Порівняння отримуваних частинних прийомів, виділення загальних дій в їх складі і формулювання узагальненого прийому розв’язання;

  10. Застосування узагальненого прийому в різних ситуаціях, перенесення і створення на нього основі нових частинних прийомів для інших видів рівнянь.

Метод «рівнянь та нерівностей» в навчанні математики

Метод рівнянь і нерівностей є головним засобом для опанування основ математичного моделювання учнями, оскільки

  • У нім найяскравіше відбиваються всі характерні межі процесу математичного моделювання;

  • Рівняння, нерівності і їх конструкції є моделями дуже багатьох явищ.

Мета вивчення методу «рівнянь та нерівностей»

  1. Формування в учнів умінь математизації реальних ситуацій.

  2. Встановлення внутрішньопредметних і міжпредметних зв'язків.

  3. Формування системності знань.

Суть методу «рівнянь та нерівностей»

  1. Встановлення основних зв'язків і залежностей, які характеризують явище або процес (тобто побудова словесної моделі явища або процесу).

  2. Переклад словесної моделі мовою математики, при якій виявлені зв'язки і залежності записуються у вигляді рівнянь, нерівностей або з конструкцій (тобто побудова математичної моделі).

  3. Розв’язання поставленої задачі в рамках математичної моделі: розв’язання рівнянь, нерівностей або їх конструкцій.

  4. Переклад розв’язання мовою, на якій було сформульовано завдання (тобто встановлення відповідності отриманого результату вихідному явищу).

Дві сторони будь-якого метода

Об'єктивна– пов'язана з системою знань, без яких методу не існує.

Суб'єктивна – пов'язана з системою дій, реалізація яких веде до досягнення результату засобами здійснення цих дій.

Об’єктивна сторона метода «рівнянь та нерівностей»

  • Знання про рівняння, нерівності і їх конструкції, а саме :

  1. поняття рівняння, нерівності, системи рівнянь або нерівностей, кореня рівняння, розв’язання нерівності, рівносильних рівнянь або нерівностей;

  2. властивості числової рівності і нерівностей;

  3. види рівнянь і нерівностей і способи їх розв’язання;

  • Знання залежностей між основними величинами, властивостями геометричних фігур і інших об'єктів, що вивчаються в шкільному курсі математики.

  • Уміння, пов'язані з розв’язанням рівнянь і нерівностей, а саме: приведення рівнянь або нерівностей, до рівносильних даному; вибір раціонального способу розв’язку;

  • Уміння складати рівняння або нерівності відповідно до властивостей об'єктів або залежностям між величинами;

  • Уміння інтерпретувати результати розв’язання рівнянь або нерівностей відповідно до умов завдання.

Суб’єктивна сторона методу «рівнянь та нерівностей»

  1. Вибір і позначення однієї або декількох невідомих величин;

  2. Вираження через вибрані величини інших невідомих величин з врахуванням зв'язків і залежностей, зафіксованих в словесній моделі;

  3. Складання моделі (рівняння, нерівності або їх конструкцій);

  4. Розв’язання складеної моделі;

  5. Дослідження отриманого результату.

Методичні задачі, пов’язані з оволодінням учнями

методом «рівнянь та нерівностей»

  • Забезпечити розуміння учнями суті методу і оволодіння ними діями з застосування методу;

  • Навчити застосовувати методи для розв’язання різних видів завдань (сюжетних, геометричних, прикладних) .

Етапи процесу формування

метода «рівнянь та нерівностей»

  1. Мотиваційний етап (прийняття учбового завдання)

  2. Етап засвоєння суті методу

  3. Етап формування компонентів методу

  4. Етап вивчення застосування методу до типових завдань (тип моделі визначено однозначно)

  5. Етап вивчення вживання методу для розв’язання широкого кола завдань

Типи задач шкільного курсу математики,

які розв’язуються методом «рівнянь та нерівностей»

Формування умінь розв’язувати завдання методом «рівнянь і нерівностей» здійснюється головним чином при розв’язанні сюжетних задач, серед яких за ознакою «тип вирішальної моделі» виділяють

  1. Завдання на складання рівняння;

  2. Завдання на складання нерівностей;

  3. Завдання на складання систем рівнянь;

  4. Завдання на складання систем нерівностей;

  5. Завдання на складання комбінованих систем;

  6. Завдання на оптимізацію.

Світоглядне значення методу «рівнянь та нерівностей»

  • Можливість встановлення міжпредметних зв'язків: при розв’язанні прикладних фізичних, економічних і тому подібне завдань

  1. вибір моделі пов'язаний з попереднім встановленням і використанням фізичних, економічних і тому подібне властивостей об'єктив і явищ,

  2. з'являється можливість показати проникнення математичного знання в інші науки

  1. Можливість встановлення внутрішньопредметних зв'язків: через виділення того загального, що зв'язує всі методи і всі складові частини математики – алгебру, геометрію, початки математичного аналізу.

План проведення практичного заняття №6 ( 2 год.):

  1. Описати можливі способи розв’язання ірраціональних рівнянь (піднесення до степеня та подальша перевірка коренів, використання рівносильних перетворень).

  2. Розробити методику формування в учнів умінь розв’язувати ірраціональні нерівності.

  3. Навести приклади використання властивостей функцій до розв’язання ірраціональних рівнянь

  • скінченна область визначення;

  • порівняння множини значень лівої та правої частин рівняння;

  • використання властивосте монотонності (теорема про корінь).

  1. Особливості методики виведення формул коренів найпростіших тригонометричних рівнянь.

  2. Порівняти підходи викладу матеріалу ”Розв’язання найпростіших тригонометричних рівнянь та нерівностей ” в підручниках Є.П. Нелін Алгебра та початки аналізу та Н. І. Шкіль Алгебра та початки аналізу.

  3. Проаналізувати різні можливі способи розв’язання тригонометричних рівнянь на прикладі рівняння

  4. Розробити конспект фрагменту уроку вивчення нового матеріалу з теми «Розв’язання найпростіших тригонометричних нерівностей», використавши при цьому тригонометричне коло та графік функції.

  5. Продемонструвати можливості використання методу інтервалів для розв’язання тригонометричних нерівностей.

  6. Описати методику роботи над задачами : Розв’язати рівняння чи нерівність:

  • ;

  • ;

  • ;

  • ;

  • .


План проведення практичного заняття №7 ( 2 год.):

  1. Виділити основні типи показникових рівнянь і нерівностей, добрати до кожного приклади.

  2. Виділити основні типи логарифмічних рівнянь і нерівностей, добрати до кожного приклади.

  3. Описати загальний алгоритм розв’язання логарифмічних нерівностей, показати на прикладах його використання.

  4. Продемонструвати можливості використання методу інтервалів для розв’язання показникових та логарифмічних нерівностей.

  5. Розробити план-конспект уроку узагальнення та систематизації знань «Методи розв’язання показникових та логарифмічних рівнянь і нерівностей»

  6. Переглянути відео матеріал. Як ви вважаєте, чи корисно розглядати завдання подібного типу в школі?

  7. Описати методику робота над завданнями: Розв’язати рівняння або нерівність

  • ;

  • ;

  • ;

  • ;

  • ;

  • .


План проведення практичного заняття №8 ( 2 год.):

Контрольна робота №1.


ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ ІІ. Елементи диференціального та інтегрального числення в курсі алгебри та початків аналізу

ТЕМА 2.1. Методика роботи з поняттями границі і неперервності функції.

Мета вивчення: опрацювання можливихметодичних концепційвведення понять про границю та неперервність функції та можливих варіантів їх впровадження у навчальний процес.

Обсяг навчального часу:2 год.

Обладнання:шкільні підручники, програма, збірки задач.

Основні питання :

  1. Аналіз різних можливих підходів до визначення поняття границі функції.

  2. Теореми про границі та їх використання.

  3. Робота з різними означеннями неперервності функції у точці.

Література:

  1. Жовнір Я.М., Євдокимов В.І. 500 задач з методики викладання математики: Навч. посібник. –Х.: Основа, 1997. – 392 с.

  2. Математика. Програма для загальноосвітніх навчальних закладів. – Київ-Ірпінь: Перун, 2005. – 64 с.

  3. Мерзляк А.Г., Неміровський Д.А., Полонський В.Б. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 10 кл. загально-освіт. навч. закладів (академічний рівень)

  4. Мерзляк А.Г., Неміровський Д.А., Полонський В.Б. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 11 кл. загально-освіт. навч. закладів (академічний рівень)

  5. Нелін Є.П. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 10 кл. загально-освіт. навч. закладів (академічний рівень)

  6. Нелін Є.П. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 11 кл. загально-освіт. навч. закладів (академічний рівень)

  7. Сборник заданий для государственной итоговой аттестации по математике. Алгебра и начала анализа. 11 класс./ Под ред. З.И.Слепкань. – Харьков: “Гимназия”, 2002.

  8. Слєпкань З.І. Методика навчання математики. – К: Зодіак-ЕКО, 2000. – 512с.

  9. Шкіль М.І. та ін. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 10 кл. загально-освіт. навч. закладів. – К.: Зодіак-ЕКО, 2003. – 272 с.

  10. Шкіль М.І. та ін. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 11 кл. загально-освіт. навч. закладів. – К.: Зодіак-ЕКО, 2003. – 400 с.

Методичні поради з викладання теми:

План проведення практичного заняття №9 ( 2 год.):

  1. В математичному аналізі існує два визначення границі функції в точці: за Гейне (на мові послідовностей) та за Коші (на мові ). Яке означення використовується в шкільній математиці. Як ви вважаєте, яке з означень найбільш адаптоване до школи та чому?

  2. Опрацювати відповідний матеріал з підручника [10, с. 10 – 48] та [6, с. 18 – 29], порівняти методичні прийоми щодо викладу матеріалу.

  3. Проаналізувати систему вправ з даної теми за підручниками [6 і 10] . Як ви вважаєте, чи є достатніми ці системи завдань для ШКМ? Чому?

  4. Розв’язати завдання та описати методику роботи з ними:

1) Довести, використовуючи означення границі послідовності:

2) Знайти границю послідовності:

а)

б)

в)

г)

3) Для кожної з функцій, графік якої зображено на малюнку, з’ясувати

  1. Чи визначена ця функція в точці ?

  2. Чи існує границя функції в точці ?

  3. Якщо границя в існує, то чи рівна вона значенню функції в цій точці?



















4) Обчислити границю функції:

5) Довести, що функція не є неперервною в точці .


ТЕМА 2.2. Похідна, її властивості і застосування в шкільному курсі математики..

Мета вивчення: сформувати у студентів уявлення про методичні особливості введення, знаходження і використання похідної до дослідження функцій.

Обсяг навчального часу:6 год.

Обладнання:шкільні підручники, програма, збірки задач, відео матеріали.

Основні питання :

  1. Пропедевтика поняття похідної.

  2. Методика введення поняття похідної, похідні елементарних функцій. Теореми про похідні.

  3. Застосування похідної до дослідження функції та розв’язання прикладних задач.

Література:

  1. Жовнір Я.М., Євдокимов В.І. 500 задач з методики викладання математики: Навч. посібник. –Х.: Основа, 1997. – 392 с.

  2. Математика. Програма для загальноосвітніх навчальних закладів. – Київ-Ірпінь: Перун, 2005. – 64 с.

  3. Мерзляк А.Г., Неміровський Д.А., Полонський В.Б. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 11 кл. загально-освіт. навч. закладів (академічний рівень)

  4. Нелін Є.П. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 11 кл. загально-освіт. навч. закладів (академічний рівень)

  5. Слєпкань З.І. Методика навчання математики. – К: Зодіак-ЕКО, 2000. – 512с.

  6. Шкіль М.І. та ін. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 11 кл. загально-освіт. навч. закладів. – К.: Зодіак-ЕКО, 2003. – 400 с.

Методичні поради з викладання теми:

План проведення практичного заняття №10 ( 2 год.):

  1. Описати можливі напрями пропедевтики введення поняття похідної.

  2. Сформулювати алгоритм знаходження похідної функції у точці, навести приклади його використання.

  3. Порівняти методичні концепції щодо викладу даного матеріалу в підручниках [3; 4;6]. Зверніть увагу на систему завдань запропоновану в цих підручниках.

  4. Описати процес введення поняття похідної функції.

  5. Описати кілька способів обґрунтування правил диференціювання. Звернути особливу увагу на відсутність строгості міркувань у доведенні окремих теорем.

  6. Описати методику роботи над задачами6

    • ;

    • ;

    • ;

    • Розвязати нерівність , якщо та ;

    • Дослідити дані функції на диференційованість:


План проведення практичного заняття №11 ( 2 год.):

  1. Наведіть, якщо це можливо, приклади функцій f і g, що задовольняють даним умовам (якщо це неможливо, поясніть чому):

  1. Довести наступні твердження:

а) похідна непарної функції – парна функція;

б) похідна парної функції – непарна функція;

в) похідна періодичної функції – періодична функція.

  1. Провести порівняльний аналіз різних методичних концепцій введення та обґрунтування достатньої ознаки зростання та спадання функції, питань, пов’язаних з екстремумами функції.

  2. Описати методику роботи над задачею: Записати рівняння дотичної до графіка функції , яка паралельна прямій

  3. Описати методику роботи над задачами: Дослідити та побудувати графік функції:

а);

б) .

  1. Перегляньте відео (побудова дробово-раціональної функції). Як ви вважаєте, чи корисно школярам переглядати такі відео? (електронний варіант)


План проведення практичного заняття №12 ( 2 год.):

1. Використовуючи літературу, підготувати повідомлення (на 10-15 хв), підібрати відповідні приклади по одному із запропонованих питань

  1. Використання похідної у фізиці та техніці.

  2. Розв’язання мінімаксних задач.

  3. Використання похідної в економіці.

  4. Використання похідної для розв’язання рівнянь та нерівностей.

Рекомендована література

  1. Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа: Учеб. Для 10-11 кл. сред. шк.– М.: Просвещение, 1992.

  2. Высшая математика для экономистов: Учеб. пособие для вузов/Н.Ш.Кремер и др.– М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997.

  3. Мерзляк А.Г., Неміровський Д.А., Полонський В.Б. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 10 кл. загально-освіт. навч. закладів (академічний рівень)

  4. Мерзляк А.Г., Неміровський Д.А., Полонський В.Б. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 11 кл. загально-освіт. навч. закладів (академічний рівень)

  5. Нелін Є.П. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 10 кл. загально-освіт. навч. закладів (академічний рівень)

  6. Нелін Є.П. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 11 кл. загально-освіт. навч. закладів (академічний рівень)

  7. Шкиль М. И. и др. Алгебра и начала анализа. Учеб. для 11 кл. общеобр. уч.завед. – К.: ЗОДИАК ЭКО, 2003. – 400 с..



ТЕМА 2.3.Первісна та інтеграл в курсі алгебри і початків аналізу.

Мета вивчення: Сформувати у студентів уміння методичного характеру поопрацюванню з учнями поняття первісної, невизначеного та визначеного інтегралів, використання останнього до знаходження площі та об’єму геометричних фігур та до розв’язання прикладних задач

Обсяг навчального часу:6 год.

Обладнання:шкільні підручники, програма, збірки задач, відеоматеріал (електронний варіант).

Основні питання :

  1. Основна мета вивчення теми. Вимоги до знань та вмінь учнів.

  2. Введення поняття первісної. Невизначений інтеграл.

  3. Визначений інтеграл. Виведення формули Ньютона-Лейбніца.

  4. Застосування інтеграла.

Література:

  1. Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа: Учеб. Для 10-11 кл. сред. шк.– М.: Просвещение, 1992.

  2. Математика. Програма для загальноосвітніх навчальних закладів. – Київ-Ірпінь: Перун, 2005. – 64 с.

  3. Мерзляк А.Г., Неміровський Д.А., Полонський В.Б. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 11 кл. загально-освіт. навч. закладів (академічний рівень)

  4. Нелін Є.П. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 11 кл. загально-освіт. навч. закладів (академічний рівень)

  5. Сборник заданий для государственной итоговой аттестации по математике. Алгебра и начала анализа. 11 класс./ Под ред. З.И.Слепкань. – Харьков: “Гимназия”, 2002.

  6. Слєпкань З.І. Методика навчання математики. – К: Зодіак-ЕКО, 2000. – 512с.

  7. Шкіль М.І. та ін. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 11 кл. загально-освіт. навч. закладів. – К.: Зодіак-ЕКО, 2003. – 400 с.


Методичні поради з викладання теми:

План проведення практичного заняття №13 ( 2 год.):

  1. Провести порівняльний аналіз підходів до введення поняття про первісну в різних підручниках [3; 4; 7].

  2. Описати методику роботи над задачами: Знайти первісні F функцій f, що задовольняють даним умовам.

2. Вияснити, чи обов’язково первісна парної функції f є непарною. Чи може вона бути непарною? Чи обов’язково серед первісних парної функції є непарна? Дайте відповідь на ті ж запитання при умові, що функція f непе­рервна на всій числовій осі.

3. Вияснити, чи обов’язково первісна непарної функції f є парною. Чи може вона бути парною? Чи обов’язково серед первісних непарної функції є парна? Дайте відповідь на ті ж запитання при умові, що функція f непе­рервна на всій числовій осі.

4. Довести, що якщо неперервна на всій осі функція f така, що її графік має вісь симетрії х = а, то графік її первісної має центр симетрії. Доведіть, що якщо неперервна на всій осі функція f така, що її графік має центр симетрії (а; 0), то графік її первісної має вісь симетрії. З'ясуйте, чи обов'язково первісна періодичної функції f періодична. Чи може вона бути періодичною? Чи обов'язково серед первісних періодичний функції є періодична?

5. З'ясувати, чи обов'язково первісна зростаючої функції f зростаюча. Чи може вона бути зростаючою? Чи обов'язково серед первісних зростаючий функції є зростаюча?

6. З'ясувати, чи можуть визначена на всій осі функція і її первісна бути періодичними, але мати незбіжні набори періодів.

7. З'ясувати, чи може графік функції збігатися з графіком якоїсь її первісної.

8. З'ясувати, чи може графік якоїсь функції перетинатися з графіком її первісної рівно в одній точці, рівно в двох, рівно в трьох.

9. Знайти усі значення параметра а, такі, що первісна функції

буде зростаючою на всій числовій осі функцією.

10.

План проведення практичного заняття №14 ( 2 год.):

  1. Провести порівняльний аналіз підходів до введення поняття про визначений інтеграл у різних підручниках [3; 4; 7].

  2. Проаналізувати доведення теореми 26.1 [3, с.255-256], виділити основну ідею доведення та етапи цього доведення.

  3. Чи можливо обчислити ?

  4. Знайти помилку в обчисленні інтеграла:

  5. При яких значеннях меж інтегрування інтеграл існує: ?

  6. Переглянути відео матеріал. Чи доцільно застосовувати подібні відео та презентації ? На якому етапі уроку?

  7. Описати методику роботи над задачами з підручника 11 класу [3].№№ 26.12, 26.16, 26.19, 26.26, 26.27.

  8. Описати методику роботи над задачами із збірника для державної атестації [5] №№ 802-815.


План проведення практичного заняття №15 ( 2 год.):

1. Використовуючи рекомендовану та додаткову літературу, підготувати повідомлення (на 10-15 хв), підібрати відповідні приклади по кожному із запропонованих питань

  1. Використання визначеного інтеграла для обчислення об’ємів.

  2. Використання визначеного інтеграла у фізиці та техніці

  • Обчислення пройденого шляху за швидкістю;

  • Обчислення роботи змінної сили;

  • Обчислення сили тиску рідини на пластинку;

  • Обчислення моменту інерції;

  • Обчислення координат центра мас плоскої фігури;

  • Інші задачі.

  1. Використання інтеграла в економіці.


ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ ІІІ. Елементи стохастики в курсі алгебри та початків аналізу

ТЕМА 3.1. Елементи комбінаторики в шкільному курсі математики. Біном Ньютона.

Мета вивчення: Сформувати у студентів уміння методичного характеру, пов’язані з навчанням елементам комбінаторики.

Обсяг навчального часу:2 год.

Обладнання:шкільні підручники, програма, збірки задач, відео фрагмент уроку.

Основні питання :

  1. Множини та операції над ними.

  2. Сполуки без повторень. Формули для обчислення їх кількості.

  3. Методичні особливості навчання учнів розв’язуванню комбінаторних задач.

Література:

  1. Виленкин Н.Я. Комбинаторика.– М.: Наука, 1969. – 328 с.

  2. Математика. Програма для загальноосвітніх навчальних закладів. – Київ-Ірпінь: Перун, 2005. – 64 с.

  3. Мерзляк А.Г., Неміровський Д.А., Полонський В.Б. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 11 кл. загально-освіт. навч. закладів (академічний рівень)

  4. Нелін Є.П. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 11 кл. загально-освіт. навч. закладів (академічний рівень)

  5. Слєпкань З.І. Методика навчання математики. – К: Зодіак-ЕКО, 2000. – 512с.

  6. Шкіль М.І. та ін. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 11 кл. загально-освіт. навч. закладів. – К.: Зодіак-ЕКО, 2003. – 400 с.

Методичні поради з викладання теми:

Задачі комбінаторного характеру виявляються досить складними для великої кількості учнів, причинами цього є:

  1. комбінаторні задачі є текстовими, тому частина учнів часто не розуміє про що йдеться в задачі і що вимагається;

  2. розв’язання задач, як правило, містять тільки формулу, за якою проводиться обчислення, тому повертаючись до задачі через певний час учні не розуміють, чому саме вибраний такий підхід;

  3. часто навпаки, задачі здаються такими прозорими, що це штовхає учнів на просте вгадування відповіді.

При пошуках розв’язку задач, в записах цих розв’язань доцільно використовувати такі підходи:

  1. Аналіз задачі має бути завершеним чітким уявленням про те, що вимагає зробити умова задачі і як краще інтерпретувати отримання результату, щоб спростити підрахунки. Так розбиття на дві рівні групи краще інтерпретувати як вибір однієї групи (8 чоловік із 16), після цього чітко треба виділити послідовність дій, яка дозволяє отримати результат, а саме перша дія – вибір двох чоловік із 4 та 6 із 12.

  2. При підборі задач треба обирати в окремих випадках таку послідовність задач, яка дозволяла б учням аналізувати схожі ситуації, але відмінні з точки зору комбінаторики. Задача про кількість розсадки 6 людей за круглим столом може бути підготовлена задачею про розсадку такої ж кількості людей на прямолінійній лавочці і узагальненим розглядом задачі про кількість намист, які можна отримати з такої ж кількості намистинок.

Зате розв’язання комбінаторних задач обов’язково має супроводжуватись необхідними поясненнями. Такі пояснення є обов’язковими для усіх видів робіт.

Дуже цінним в процесі розв’язування комбінаторних задач є можливість більшість задач розв’язати кількома способами. Це треба плідно використовувати.

План проведення практичного заняття №16 ( 2 год.):

  1. Охарактеризувати переваги і недоліки різних підходів до введення елементів комбінаторики у шкільний курс математики.

  2. Дати характеристику можливостям використання комбінаторних правил множення та додавання у шкільному курсі. Навести приклади задач, що розв’язуються з їх допомогою.

  3. Навести різні способи обґрунтування формул для обчислення числа перестановок, розміщень, комбінацій без повторень.

  4. Ознайомитись з коментарями до розв’язання комбінаторних задач у підручнику [4]. Запропонувати схему вибору виду сполуки та відповідної формули в процесі розв’язання комбінаторної задачі.

  5. Знайти і виправити у тексті підручника наявні помилки [6, с. 335]

  6. Описати методику роботи над задачами

  1. Знайти кількість парних трицифрових чисел, які можна записати цифрами 0, 1, 2, 3?

  2. Скільки чотиризначних чисел можна записати цифрами 0,1,2,3, не повторюю їх?

  3. Студенту треба скласти 4 екзамени протягом 8 днів. Скількома способами може бути складений його розклад, якщо в один день він може складати тільки один екзамен?

  4. Скільки різних прямих можна провести через 10 точок площини, ніякі три з яких не належать одній прямій?

  5. У лотереї розігруються 5 предметів. Перший, хто підходить до урни, виймає 5 білетів. Яким числом способів він може їх вийняти, щоб виграшних виявилось не менше трьох, якщо в урні 100 білетів?

  6. Збори, на яких були присутні 30 чоловік, в тому числі 5 жінок, обирають 6 співробітників для роботи на виборчій дільниці. Скільки існує варіантів вибору, якщо серед обраних має бути не менше, ніж 3 жінки?

  7. 16 туристів розділились на дві рівні трупи для пошуку товариша, який загубився. Серед них тільки 4 тих, хто добре знайомий с місцевістю. Яким числом способів вони можуть розділитись так, щоб в кожну групу увійшло 2 туристи, що знають місцевість.

  8. Скількома способами можна розставити на полиці 12 книг, з яких 5 книг – збірки віршів так, щоб збірки віршів стояли поруч у довільному порядку?

  9. На вечорі відпочинку присутні 12 дівчат і 15 юнаків. Скількома способами можна обрати з них 4 пари для конкурсу?

  10. На кожному борту човна сидять по 4 особи. Скількома способами можна вибрати команду для цього човна, якщо є 31 кандидат, причому 10 чоловік хочуть сидіти на лівому борту, 12 – на правому, а для 9 однаково, де сидіти?

  11. Розв’язати рівняння: 1) Ах2 =42; 2) Сх-32=21; 3)

  12. Знайти розклад степеня бінома: 1) (х + а)6; 2)

  13. Знайти член розкладу бінома , що не містить а.


ТЕМА 3.2. Початки теорії ймовірностей в шкільному курсі математики.

Мета вивчення: Сформувати у студентів уміння методичного характеру поопрацюванню з учнями основних теоретико-ймовірнісних понять та методів розв’язання найпростіших ймовірнісних задач.

Обсяг навчального часу:4 год.

Обладнання:шкільні підручники, програма.

Основні питання :

  1. Випадкові події, їх класифікація.

  2. Статистичне, класичне та геометричне означення ймовірності.

  3. Теореми про ймовірність суми та добутку подій.

Література:

  1. Математика. Програма для загальноосвітніх навчальних закладів. – Київ-Ірпінь: Перун, 2005. – 64 с.

  2. Мерзляк А.Г., Неміровський Д.А., Полонський В.Б. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 11 кл. загально-освіт. навч. закладів (академічний рівень)

  3. Нелін Є.П. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 11 кл. загально-освіт. навч. закладів (академічний рівень)

  4. Слєпкань З.І. Методика навчання математики. – К: Зодіак-ЕКО, 2000. – 512с.

  5. Шкіль М.І. та ін. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 11 кл. загально-освіт. навч. закладів. – К.: Зодіак-ЕКО, 2003. – 272 с.


Методичні поради з викладання теми:

Вимоги до підготовки учнів

  1. Згідно з вимогами стандарту з математики після вивчення даної теми учні повинні уміти: знаходити ймовірність випадкових подій в простих випадках;

  2. Знаходити частоту подій, використовуючи власні спостереження і готові статистичні дані;

  3. Обчислювати середні значення результатів вимірів.

  4. Учні повинні використовувати придбані знання і уміння в практичній діяльності і повсякденному житті для: порівняння шансів настання випадкових подій, оцінки ймовірності випадкової події в практичних ситуаціях;

  5. Розуміння статистичних міркувань;

  6. Аналіз реальних числових даних, представлених у вигляді діаграм, графіків, таблиць.

Вивчення основних понять теорії ймовірності

Фундаментальними поняттями статистично-ймовірнісної лінії є поняття:

  1. ймовірність;

  2. подія;

  3. випадкова величина.

Поняття «подія»

  1. вивчення пов'язане з теоретико-множинним представленням;

  2. для коректного визначення поняття необхідно щоб учні були знайомі з елементами теорії множин.

Психологічні труднощі

Дуже часто поняття «подія» сприймається в контексті побутової лексики, тобто зв'язується з деяким одиничним актом, локалізованим у просторі та часі, а в математичному визначенні поняття зв'язується і з одиничним актом, і з деякою їх множиною з числом елементів, більших за одиницю. Часто не розмежовуються поняття «подія» і «експеримент». Поняття «подія» формується на індуктивному рівні, починаючи з поняття «елементарний результат» при розгляді простих імовірнісних моделей (кидання монети, кидання гральних костей, витягання куль або карт).

План проведення практичного заняття №17 ( 2 год.):

  1. Провести порівняльний аналіз підходів до введення ймовірнісних понять в різних підручниках [2, 3, 5].

  2. Скласти термінологічний словник.

  3. Провести класифікацію випадкових подій за різними основами.

  4. Охарактеризувати різні означення ймовірності (статистичне, класичне, геометричне). Навести приклади їх використання.

  5. Скласти запитання для фронтального опитування учнів з теми.

  6. Виділити операційний склад уміння розв’язувати задачі на використання формули класичної ймовірності. Навести приклад роботи над задачею.

  7. Скласти систему диференційованих вправ для вдосконалення вміння використовувати формули комбінаторики для розв’язання задач на класичну ймовірність.


План проведення практичного заняття №18 ( 2 год.):

  1. Порівняти варіанти представлення у різних підручниках [2, 3, 5] операцій над подіями, формулювання та доведення теорем про ймовірність суми та добутку подій.

  2. Виділити операційний склад уміння розв’язувати задачі на використання теорем про ймовірність суми та добутку подій. Навести приклад роботи над задачею.

  3. Скласти фрагмент конспекту уроку, що стосується закріплення й застосування, нових знань, навичок й умінь до теми «Операції над подіями».

  4. Виконати завдання у тестовій формі [2, с.324-326]. Проаналізувати заданий тест на виконання основних вимог, визначити час, необхідний учням для його виконання. Розробити критерії оцінювання.

  5. Описати методику роботи над задачами з непарними №№ 30.13 – 30.26 [2, с.306-307].


ТЕМА 3.3.Елементи математичної статистики в шкільному курсі математики.

Мета вивчення: Сформувати у студентів уміння методичного характеру поопрацюванню з учнями основних статистичних понять та найпростіших методів групування та обробки статистичних даних.

Обсяг навчального часу:4 год.

Обладнання:шкільні підручники, програма, відеоматеріал.

Основні питання :

  1. Методика формування уявлень учнів про математичну статистику.

  2. Ряди розподілу, наочне представлення статистичного розподілу.

  3. Числові характеристики ознаки

Література:

  1. Математика. Програма для загальноосвітніх навчальних закладів. – Київ-Ірпінь: Перун, 2005. – 64 с.

  2. Мерзляк А.Г., Неміровський Д.А., Полонський В.Б. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 11 кл. загально-освіт. навч. закладів (академічний рівень)

  3. Нелін Є.П. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 11 кл. загально-освіт. навч. закладів (академічний рівень)

  4. Слєпкань З.І. Методика навчання математики. – К: Зодіак-ЕКО, 2000. – 512с.

  5. Шкіль М.І. та ін. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 11 кл. загально-освіт. навч. закладів. – К.: Зодіак-ЕКО, 2003. – 272 с.

Методичні поради з викладання теми:

Термінологічний словник.

  1. Способи отримання даних: статистичне спостереження (класифікація), генеральна сукупність, вибірка (собственно случайная, механическая, типическая (стратифицированная), серийная), репрезентативність вибірки, варіанти.

  2. Первісна обробка даних і їх наочне представлення: ранжирування, групування (розбиття варіант на інтервали (), частота (вага), відносна частота (частість), варіаційний ряд (дискретний та інтервальний), полігон, гістограма.

  3. Числові характеристики: а) середні величини (характеризують центральну тенденцію розподілу): середня арифметична проста і зважена, мода, медіана; б) показники варіації: варіаційний розмах, дисперсія та середнє квадратичне відхилення (коефіцієнт варіації – відношення середнього квадратичного відхилення до середньої арифметичної, високий коефіцієнт варіації свідчить про неоднорідність вибірки).

План проведення практичного заняття №19 ( 2 год.):

  1. Провести порівняльний аналіз підходів до введення стохастичних понять в різних підручниках [2, 3, 5].

  2. Описати методику ознайомлення учнів з термінологічним словником.

  3. Виявити й виправити наявні помилки у підручнику [5].

  4. Розробити навчальні матеріали для учнів «Основні поняття математичної статистики».

  5. Скласти довгострокове завдання по проведенню учнями статистичних спостережень з наступною обробкою даних. Добрати не менше 10 ознак для дослідження.

  6. Опрацювати систему задач у підручнику [2], скласти або додати із додаткової літератури необхідні типи задач.


План проведення практичного заняття №20 ( 2 год.):

Контрольна робота №2.


ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ ІV. Методика навчання стереометрії у старшій школі.

ТЕМА 4.2. Геометричні фігури та їх властивості.

Мета вивчення: Узагальнити й систематизувати знання про геометричні тіла, їх властивості та методику роботи з ними у старшій школі.

Обсяг навчального часу:4 год.

Обладнання:шкільні підручники, програма, відеоматеріали.

Основні питання :

  1. Методика вивчення многогранників. Класифікація многогранників та вивчення їх властивостей. Зображення многогранників.

  2. Особливості задач на побудову у просторі.

  3. Тіла обертання, можливі підходи до їх введення, властивості. Методика навчання учнів розв’язанню задач на комбінації тіл.

  4. Геометричні величини в стереометрії. Використання інтеграла для обчислення об’ємів.

Література:

  1. Бевз Г.П.,Бевз В.Г., Владімірова Н.Г. Геометрія: підруч. для 10 кл. загальноосвіт. навч. закл.: профіл. рівень. – К.: Генеза, 2010. – 232 с.

  2. Бевз Г.П.,Бевз В.Г., Владімірова Н.Г. Геометрія: підруч. для 11 кл. загальноосвіт. навч. закл.: академ. рівень, профіл. рівень. – К.: Генеза, 2011. – 336 с.

  3. Гольдберг Я.Е. С чего начинается решение стереометрической задачи: Пособие для учителя. – К.: Рад. шк., 1990. – 118 с.

  4. Математика. Програма для загальноосвітніх навчальних закладів. – Київ-Ірпінь: Перун, 2005. – 64 с.

  5. Погорєлов О.В. Геометрія: підруч. Для 7-11 кл. серед. шк.. – К., 1998.–383с.

  6. Слєпкань З.І. Методика навчання математики. – К: Зодіак-ЕКО, 2000. – 512с.

Методичні поради з викладання теми:

План проведення практичного заняття №21 ( 2 год.):

  1. Провести порівняльний аналіз підходів до введення понять многогранника та тіла обертання в різних підручниках [2, 5].

  2. Провести класифікацію різних видів многогранників, виділити опорні факти для кожного з класів.

  3. Скласти систему задач, яка б відображала основні варіанти розташування висоти піраміди (основні опорні факти).

  4. Розробити правила-орієнтири виконання побудов у просторі:

    • побудова кута між прямою і площиною;

    • побудова лінійного кута заданого двогранного;

    • побудова перпендикуляра із заданої точки до ребра та до площини грані многогранника;

    • побудова спільного перпендикуляра мимобіжних прямих;

    • побудова перерізів многогранників методом слідів.

  5. Розробити план-конспект фрагменту уроку ознайомлення учнів з правильними многогранниками, який включав би презентацію «Правильні многогранники у природі».

  6. Проаналізувати різні означення тіл обертання (циліндр, конус, зрізаний конус, куля).

  7. Розробити диференційовану систему задач на обчислення площ поверхонь тіл, отриманих при обертанні певної геометричної фігури навколо заданої осі.


План проведення практичного заняття №22 ( 2 год.):

  1. Охарактеризувати особливості зображень просторових тіл у паралельній проекції.

  1. Зображення різних видів трикутників, чотирикутників, правильного шестикутника.

  2. Зображення многогранників, їх розгорток

а) призма,

б) піраміда,

в) зрізана піраміда,

г) правильні многогранники.

  1. Зображення циліндра і конуса, їх комбінацій з многогранниками.

  2. Зображення кулі та її перерізів, комбінацій кулі з конусом і циліндром, з многогранниками.

  1. Розробити правила-орієнтири обґрунтування положення центра кулі в задачах на комбінацію кулі з многогранниками, циліндром, конусом.

  2. Провести логіко-математичний аналіз різних підходів до отримання формул обчислення об’ємів многогранників та тіл обертання у підручниках [2 і 5].

  3. Вивести формули об’ємів усіх передбачуваних програмою геометричних тіл з допомогою визначеного інтегралу. Виразіть Ваше відношення до такого варіанту розгортання теоретичного матеріалу.